Workshop de Géométrie Algébrique à DIJON (octobre 2021)

Dates et lieu


Jeudi 07/10 : Salle A318, 3ème étage de l'IMB, aile A, bâtiment Mirande, Université de Bourgogne, Dijon.

Vendredi 08/10 : Salle René Baire, 4ème étage de l'IMB, aile A, bâtiment Mirande, Université de Bourgogne, Dijon.

Programme


    Jeudi 7
    (A318)
  10h30-11h30   Nicolas Perrin   Variété de tangentes minimales des compactifications magnifiques des espaces symétriques.  
  13h30-14h30   Frédéric Déglise   Liens et plomberies algébrisées. 
  15h-16h   Frédéric Mangolte   Involutions birationnelles du plan projectif réel. 
  16h30-17h30   Philippe Gille  R-équivalence pour les schémas en groupes. 
  Vendredi 8
 (René Baire) 		  9h-10h   Michel Brion   Realizing algebraic groups as automorphism groups.  
  10h30-11h30   Dmitry Timashev
    (online talk) 		  Component group and Galois cohomology of real reductive groups.  

Titres et résumés des exposés

  • Realizing algebraic groups as automorphism groups (Michel Brion)

    Let G be a smooth connected algebraic group over a field. The main result of the talk asserts that G is the connected automorphism group scheme of a normal projective variety of dimension at most max(2n,3), where n = dim(G). We will sketch a proof of this result and discuss some open questions, including a better dimension bound.

  • Liens et plomberies algébrisées (Frédéric Déglise)

    Le lien associé à un singularité isolées d'une hypersurface est un invariant géométrique fondamental, abondamment étudié depuis Brauner. Mumford a notamment donné un critère de simplicité pour les singularités rationnelles des surfaces normales, à l'aide d'une interprétation géométrique du lien correspondant, en termes de "plomberie" des voisinages tubulaires des branches qui apparaissent après résolution une singularité adéquate de la singularité. Dans cet exposé, j'expliquerai un travail en collaboration avec Adrien Dubouloz et Paul Arne Østvær qui permet d'étendre la construction de Mumford aux variétés algébriques sur des corps quelconques, à l'aide de la théorie homotopique de Morel-Voevodsky. L'avantage de cette construction - au prix de travailler stablement - est qu'elle se prête complètement aux calculs, quitte à utiliser les invariants de la théorie de l'homotopie de Morel-Voevodsky. Dans cette dernière, le degré de Brouwer esst enrichi en une forme quadratique et j'expliquerai comment nos calculs donnent des versions quadratiques de la "matrice de Mumford", et permettent de calculer notre version algébrique du lien pour les singularités de type du Val.

  • R-équivalence pour les schémas en groupes (Philippe Gille)

    Il s'agit d'un travail en commun avec Anastasia Stavrova (Saint-Petersbourg). Etant donné un schéma en groupes G sur un anneau A, nous définissons la R-équivalence pour le groupe G(A) de façon compatible avec le cas des groupes algébriques. Nous calculons l'invariant G(A)/R dans le cas d'un anneau local et lorsque G est un tore ou semi-simple simplement connexe isotrope.

  • Involutions birationnelles du plan projectif réel (Frédéric Mangolte)

    Il s’agit d'un travail en cours en collaboration avec I. Cheltsov, E. Yasinski et S. Zimmermann. Nous classifions les classes de conjugaison d’éléments d’ordre 2 dans le groupe de Cremona réel Bir_R(P^2). La classification correspondante pour le plan projectif complexe remonte à Bertini (1877), fut complétée par Castelnuovo and Enriques (1900) et finalement établie en toute rigueur par Bayle and Beauville (2000). On trouve quatre types d’involutions birationnelles pour le plan complexe. Concernant le plan projectif réel, nous prouvons notamment :
    1) il existe une infinité d’involutions deux à deux non conjuguées dans Bir_R(P^2) toutes conjuguées à (x:y:z)->(x:y:-z) dans Bir_C(P^2),
    2) Il existe trois nouveaux types d’involutions sur les surfaces de del Pezzo de degré 2 qui ne sont pas conjuguées à une Geiser ni sur R, ni sur C et qui sont construites à partir de l’involution de Kowalevski du plan,
    3) Il existe deux nouveaux types d’involutions sur les fibrés en coniques.

  • Variété de tangentes minimales des compactifications magnifiques des espaces symétriques (Nicolas Perrin)

    Cet exposé sera basé sur un travail en cours avec Michel Brion et Shinyoung Kim. J'expliquerai que les compactifications magnifiques des espaces symétriques ont (presque toujours) une unique famille de courbes minimales et que la variété des tangentes minimales (VMRT) est homogène. Je ferai un lien entre ces variétés et certaines orbites nilpotentes ainsi qu'avec les algèbres de Jordan dans le cas de type A.

  • Component group and Galois cohomology of real reductive groups (Dmitry Timashev)

    For a connected reductive algebraic group G defined over the field of real numbers R, the group of real points G(R) is a real Lie group, not necessarily connected; look at GL_n(R) or SO_{p,q}(R) for example. A natural problem is to determine the component group of G(R). It turns out that this problem is related to another important problem in the theory of algebraic groups: to compute the Galois cohomology H^1(R,G). We give a uniform solution to both problems in terms of combinatorial data which determine the reductive group G over R, such as the affine Dynkin diagram with a nonnegative integer labeling of its vertices and the cocharacter lattice of a maximal torus equipped with an involution. Though the answer is purely algebraic and combinatorial, the proofs involve both algebraic and transcendental Lie-theoretic methods such as the exponential mapping on algebraic tori and an action of the affine Weyl group on their Lie algebras.
    This is a joint work with Mikhail Borovoi.


Participants

  • Ivan Alejandro Rosas-Soto
  • Vladimiro Benedetti
  • Michel Brion
  • Mattia Cavicchi
  • Frédéric Déglise
  • Adrien Dubouloz
  • Daniele Faenzi
  • Pierre-Alexandre Gillard
  • Philippe Gille
  • Clémentine Lemarie-Rieusset
  • Frédéric Mangolte
  • Lucy Moser-Jauslin
  • Jan Nagel
  • Nicolas Perrin
  • Charlie Petitjean
  • Mattia Pirani
  • Ronan Terpereau
  • Torben Wiedemann
  • Egor Yasinsky

Organisateur

Ronan Terpereau (Université de Bourgogne)

Financement

Cette rencontre est soutenue par: